Posts

Showing posts from May 23, 2019

Taylor's Theorem For Power Series

Image
Taylor's Theorem For Power Series  :   Statement :           Let          ∞                                                               Σ aₙ xⁿ be a power series with                     n= 0  radius of convergence R , and let                       ∞            f(x) = Σ aₙ xⁿ  , |x| < R                      n=0 Then for any a∈ ]-R ,R[ , prove that f can be expanded in a power series about 'a' which converges for  |x-a| < R- |a| , and                ∞     f(x) = Σ  f⁽ⁿ⁾(a) (x-a)ⁿ /n! , |x-a|<R-|a|              n=0 Proof :         Suppose |x-a|<R-|a|. Then |x|≤|x-a|+|a|<R and thus Σaₙxⁿ converges .                          ∞            ∞    Now , f(x) = Σ aₙxⁿ = Σ aₙ(x-a + a)ⁿ                         n=0        n=0                         ∞      n                      = Σ aₙ Σ   ⁿCₘ aⁿ⁻ᵐ(x-a)ᵐ ......(1)                        n=0  m=0 We wish to change the order of summation in this express