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  The Main Theorem : Statement :                If a function f is bounded periodic with period 2π and integrable on [-π,π] , and piecewise monotonic on [-π,π], then                ∞ 1/2 a₀ + Σ (aₙcosnξ + bₙsinnξ)              n=1                 [1/2 [f(ξ-)+f(ξ+)], for -π<ξ<π ,          =                   [1/2 [f(π-)+f(-π+)] , for ξ= ±π   where aₙ , bₙ are Fourier coefficients of f. Proof :                              ∞           Let 1/2 a₀+Σ (aₙcosnx +bₙsinnx) be                            n=1 the Fourier Series of f , and ξ , a point of  [-π,π] . The mth partial sum at the point ξ,               ∞ 1/2 a₀ + Σ (aₙcos nξ + bₙsin nξ)             n=1               π           m       π   = 1/2π ∫ f dx + Σ 1/π ∫ f [cosnx cosnξ             - π          n=1    -π                                               + sinnx sinnξ]dx                π           ∞   = 1/2π ∫ f [1+2 Σ cos n(x-ξ) ] dx               -π