Conditions Of Integrability

Conditions Of Integrability :

   ( A ) First Form Of Integrability :

                  A necessary and sufficient condition for the integrability of a bounded function f is that to every ε > 0 , there corresponds δ > 0 such that for every partition P of [a,b] with norms μ(P) < δ , 

 U(P,f) - L(P,f) < ε .

Proof Of Necessary Part :

              Let's suppose that the bounded function f be integrable i.e 

        b          - b            b

       ∫ f dx = ∫ f dx = ∫ f dx 

      -a            a             a 

    Let ε > 0 be a positive small number . By Darboux's Theorem ∃ a δ > 0 such that for every partition P with norm μ(P) < δ we have  

                          - b                         b

             U(P,f) < ∫  f dx + ε/2 = ∫ f dx + ε /2 ...(1)

                            a                         a

           and 

                            b                     b

             L(P,f) > ∫ f dx - ε /2 = ∫ f dx - ε / 2 ....(2)

                          - a                     a

              or 

                            b

      - L(P,f) < - [ ∫ f dx - ε / 2] .....(3)

                           a

Now adding equation(1) and equation (3) we get 

    U(P,f) - L(P,f) < ε , for every partition P with norm μ(P) < δ . 

Proof Of Sufficient Part : 

             Ler ε > 0 be a small positive number. For any partition P with norm μ(P) < δ .

      It is given that 

          U(P,f) - L(P,f) < ε 

We know for any partition P , we have 

                 b          - b

  L(P,f) ≤ ∫ f dx ≤ ∫ f dx ≤ U(P,f) 

              - a           a

     - b          b

⇒ ∫ f dx - ∫ f dx ≤ U(P,f) - L(P,f) < ε (given) 

     a          - a

                    [If a ≤ b ≤ c ≤ d then c- b ≤ d- a]

 Here ε is an arbitary small positive  number . The above expression shows that the non negative number is less than a posirive number . So it can be 

           - b           b

             ∫ f dx - ∫ f dx = 0 

             a         - a

            - b           b

 ⇒        ∫ f dx = ∫ f dx  

             a          - a 

 

  ⇒   f is integrable  (Proved)

( B ) Second Form Of Conditions Of                  Integrability :

       A bounded function f is integrable on     [ a,b ] iff for every ε > 0 ∃ a partition P    such that 

              U(P,f) - L(P,f) < ε 

  Proof Of Necessary Part : 

                Let us suppose that the function f is integrable . Then 

            b          - b            b

           ∫ f dx = ∫ f dx = ∫ f dx ...........(1) 

          - a           a            a 

      Let ε be a small positive number we know the upper integral is the infimum of the upper sum and the lower integral is the supremum of the lower sum . So ∃ partitions P₁ and P₂ such that 

                     - b                      b

      U(P₁,f) < ∫ f dx + ε / 2= ∫ f dx + ε / 2 .....(2)

                       a                      a

       and 

                      b                      b

     L(P₂,f) > ∫ f dx - ε / 2 = ∫  f dx - ε / 2 .......(3)

                    - a                     a

   Let P be the common refinement of P₁ and P₂ . Then we can write 

                                b                                      U(P,f) ≤ U(P₁,f) < ∫ f dx + ε / 2 < L(P₂,f) + ε 

                                a    

                                                < L(P,f) + ε

  i.e        U(P,f) - L(P,f) < ε   (Proved)

Proof Of Sufficient Part : 

              Let ε be a small positive number such that 

           U(P,f) - L(P,f) < ε    where P is any partition .

   Again for any partition P , we have 

                  b          - b

   L(P,f) ≤ ∫ f dx ≤ ∫ f dx ≤ U(P,f) 

                - a           a

          - b          b

 So ,   ∫ f dx - ∫ f dx ≤ U(P,f) - L(P,f) < ε

           a         - a

  The above expression shows that the non negative number is less than every positive number ε .

 So it must be zero 

          - b            b

           ∫ f dx  = ∫ f dx 

           a            - a

    ⇒ f is integrable (Proved)