Derivation Of Composite Trapezoidal Rule

Derivation Of Composite Trapezoidal Rule :

                                                  b

      Let us find the value of ∫ f(x) dx
                                                 a

numerically by composite trapezoidal rule.

Solution : 

            Let [a,b] be divided into n equal sub intervals of length h each . Let                            a= x₀,x₁,x₂,.......xₙ=b  be the points of sub division . 

i.e x₁ = x₀+ih  for i= 0,1,2,......n

By Newton's Forward Difference Interpolation 

f(x) = f(x₀)+uΔf(x₀) +u(u-1)/2!  Δ²f(x₀)+........

       where x = x₀+uh

b                

∫ f(x) dx =

a       xₙ

         ∫ [f(x₀)+uΔf(x₀)+u(u-1)/2!  Δ²f(x₀)+...]dx           x₀

             n

       = h∫ [f(x₀)+uΔf(x₀)+u(u-1)/2  Δ²f(x₀)+...]dx

            0

    =h[uf(x₀) +u²/2 Δf(x₀) +                                

                                                                      n

                                 (u³/6 -u²/4)Δ²f(x₀)+.....]

                                                                       0

 =h[nf(x₀) +n²/2 Δf(x₀) +(n³/6 - n²/4)Δ²f(x₀)+...]

For n=1

x₁

∫ f(x) dx = h[1.f(x₀) + 1/2  Δf(x₀)]

x₀

                = h[f(x₀) + 1/2 {f(x₁) - f(x₀)}

               = h/2  [f(x₀) + f(x₁)]

     x₁

⇒ ∫ f(x) dx = h/2  [f(x₀) + f(x₁)]

    x₀

Similarly, 

    x₂

    ∫ f(x) dx = h/2  [f(x₁) + f(x₂)]

   x₁

   x₃

   ∫ f(x) dx = h/2 [f(x₂) + f(x₃)]

  x₂

.........................................

.........................................

  xₙ

  ∫ f(x) dx = h/2 [f(xₙ₋₁) + f(xₙ)]

 xₙ₋₁

Adding respective sides , we get 

 x₁               x₂                          xₙ

 ∫ f(x) dx + ∫ f(x) dx +.........+∫ f(x) dx

x₀               x₁                         xₙ₋₁

          = h/2 [f(x₀)+f(x₁)+f(x₁)+f(x₂)+f(x₂)+...

                                              + f(xₙ₋₁)+f(xₙ)]

    xₙ

⇒∫ f(x) dx = h/2 {f(x₀)+2[f(x₁)+f(x₂)+....f(xₙ₋₁)]

   x₀

                                                    + f(xₙ)}

This is known as Composite Trapezoidal Rule.

For Example :

             Approximate the integral of f(x)= x³ on the interval [1,2] with four sub intervals using Composite Trapezoidal Rule .

Solution :

            Here h= (2-1) /4 = 0.25

and so we have 

        

   2

   ∫  x³ dx  =   0.25/2  {f(1)                                       1                                                                                                 +2[f(1.25)+f(1.5)+f(1.75)]+f(2)} 

         = 0.5/2 (1³ +2[(1.25)³+(1.5)³+(1.75)³]2³)

        = 3.796875

Which is required solution .