Fundamental Theorems Of Integral Calculus

Fundamental Theorems Of Integral Calculus :

First Fundamental Theorem Of Integral Calculus :

Theorem 1 :

                If a function f is bounded and integrable on [ a,b ] , then the function F defined as                    x

                           F(x) = ∫ f(t) dt , a≤x≤b 

                                       0

is continuous on [ a,b ] and further more , if f is continuous at a point of [ a,b ] , then F is derivable at c and F'(c) = f(c) .

Proof :

          It is given that the function f is bounded . Then by definition ∃ a number k such that |f(x)|≤ k for x ∈ [ a,b ] ......(1)

      Let x₁ , x₂ ∈[ a,b ] such that a≤x₁≤x₂≤b .

                                            x₂             x₁

 Then |F(x₂) - F(x₁) | = |∫ f(t) dt - ∫ f(t) dt |

                                           a               a

                                   x₂              a

                             = |∫ f(t) dt + ∫ f(t) dt |

                                  a               x₁

                                  a               x₂

                            = |∫ f(t) dt + ∫ f(t) dt |

                                 x₁              a

                               x₂                             x₂

                         = |∫ f(t) dt | = |f(t) ||∫ dt|

                              x₁                              x₁

                                                ≤ k(x₂ - x₁ )  using                                                           equation (1)

So for a given ε > 0 , we find 

 |F(x₂) - F(x₁)|< ε  if |x₂ - x₁|< ε/k

Here the function F is continuous on [ a,b ] .

To Prove F'(c) = f(c) :

          Let f be continuous at a point c ∈ [a,b].

So for any ε > 0 ∃ a δ > 0 such that            |f(x) - f(c) |< ε for |x- c| < δ 

         Let c-δ < s ≤ c ≤ t < c+δ

Now |F(t) - F(s) / t-s  -  f(c) |

            t                s

      = |∫ f(x) dx - ∫ f(x) dx / t-s  -  f(c) |

            a                a

             t                  a

      = |[∫ f(x) dx + ∫ f(x) dx - (t-s) f(c)] / t-s |

            a                 s

            a                 t

    = |[ ∫ f(x) dx + ∫ f(x) dx - f(c) (t-s) ] / t- s|

           s                  a

         t

   ≤ |∫ {f(x) - f(c) } dx| / t-s

        s

        t

   ≤ [∫ |f(x) - f(c) |dx] / t-s

       s

          t

   < ε ∫ dt / t- s

         s

  = ε(t - s ) / (t - s ) = ε

∴ | F(t) - F(s) / t - s  -  f(c) |< ε 

⇒ F'(c) = f(c) 

i.e continuity of f at any point of [ a,b ] 

⇒ F is derivable at that point (Proved)

Second Fundamental Theorem Of Integral Calculus :

Theorem 2 :

          A function f is bounded and integrable on [ a,b] , then 

      b

      ∫ f dx = F(b) - F(a)

      a

Proof :

        Given F' = f is bounded and integrable . 

Then for every given ε > 0 , ∃ a δ > 0        such that for every partition 

P = { a = x₀,x₁,x₂,......xₙ = b} with norm       μ(P) <δ 

                   n                  b

                 |Σ f(tᵢ) Δxᵢ - ∫ f dx |< ε

                  i=1               a

                        n                   b

or ,    lim        Σ f(tᵢ) Δxᵢ = ∫  f(x) dx ......(1)

     μ(P)-->0    i= 1               a

for any tᵢ ∈ Δxᵢ 

Let us choose tᵢ ∈ Δxᵢ , such that by Lagrange's Mean Value Theorem , we have 

    F(xᵢ) - F(xᵢ₋₁) / xᵢ - xᵢ₋₁ = F'(tᵢ)  i= 1,2,3.....,n

⇒ F(xᵢ) - F(xᵢ₋₁) = f(tᵢ) (xᵢ - xᵢ₋₁) = f(tᵢ)Δxᵢ

     n                  n

⇒ Σ f(tᵢ) Δxᵢ = Σ [ F(xᵢ) - F(xᵢ₋₁)]

   i=1               i = 1

                       = F(b) - F(a) ..........(2)

From equations (1) and (2) , we get 

      b

     ∫ f(x) dx = F(b) - F(a)     (Proved)

     a