Fundamental Theorems Of Integral Calculus

Fundamental Theorems Of Integral Calculus :


First Fundamental Theorem Of Integral Calculus :


Theorem 1 :

                If a function f is bounded and integrable on [ a,b ] , then the function F defined as                    x
                           F(x) = ∫ f(t) dt , a≤x≤b 
                                       0
is continuous on [ a,b ] and further more , if f is continuous at a point of [ a,b ] , then F is derivable at c and F'(c) = f(c) .

Proof :



          It is given that the function f is bounded . Then by definition ∃ a number k such that |f(x)|≤ k for x ∈ [ a,b ] ......(1)

      Let x₁ , x₂ ∈[ a,b ] such that a≤x₁≤x₂≤b .
                                            x₂             x₁
 Then |F(x₂) - F(x₁) | = |∫ f(t) dt - ∫ f(t) dt |
                                           a               a
                                   x₂              a
                             = |∫ f(t) dt + ∫ f(t) dt |
                                  a               x₁
                                  a               x₂
                            = |∫ f(t) dt + ∫ f(t) dt |
                                 x₁              a
                               x₂                             x₂
                         = |∫ f(t) dt | = |f(t) ||∫ dt|
                              x₁                              x₁

                                                ≤ k(x₂ - x₁ )  using                                                           equation (1)

So for a given ε > 0 , we find 

 |F(x₂) - F(x₁)|< ε  if |x₂ - x₁|< ε/k

Here the function F is continuous on [ a,b ] .

To Prove F'(c) = f(c) :


          Let f be continuous at a point c ∈ [a,b].
So for any ε > 0 ∃ a δ > 0 such that            |f(x) - f(c) |< ε for |x- c| < δ 

         Let c-δ < s ≤ c ≤ t < c+δ

Now |F(t) - F(s) / t-s  -  f(c) |
            t                s
      = |∫ f(x) dx - ∫ f(x) dx / t-s  -  f(c) |
            a                a
             t                  a
      = |[∫ f(x) dx + ∫ f(x) dx - (t-s) f(c)] / t-s |
            a                 s
            a                 t
    = |[ ∫ f(x) dx + ∫ f(x) dx - f(c) (t-s) ] / t- s|
           s                  a
         t
   ≤ |∫ {f(x) - f(c) } dx| / t-s
        s
        t
   ≤ [∫ |f(x) - f(c) |dx] / t-s
       s
          t
   < ε ∫ dt / t- s
         s

  = ε(t - s ) / (t - s ) = ε

∴ | F(t) - F(s) / t - s  -  f(c) |< ε 

⇒ F'(c) = f(c) 

i.e continuity of f at any point of [ a,b ] 

⇒ F is derivable at that point (Proved)

Second Fundamental Theorem Of Integral Calculus :


Theorem 2 :



          A function f is bounded and integrable on [ a,b] , then 
      b
      ∫ f dx = F(b) - F(a)
      a

Proof :



        Given F' = f is bounded and integrable . 
Then for every given ε > 0 , ∃ a δ > 0        such that for every partition 

P = { a = x₀,x₁,x₂,......xₙ = b} with norm       μ(P) <δ 
                   n                  b
                 |Σ f(tᵢ) Δxᵢ - ∫ f dx |< ε
                  i=1               a
                        n                   b
or ,    lim        Σ f(tᵢ) Δxᵢ = ∫  f(x) dx ......(1)
     μ(P)-->0    i= 1               a

for any tᵢ ∈ Δxᵢ 

Let us choose tᵢ ∈ Δxᵢ , such that by Lagrange's Mean Value Theorem , we have 

    F(xᵢ) - F(xᵢ₋₁) / xᵢ - xᵢ₋₁ = F'(tᵢ)  i= 1,2,3.....,n

⇒ F(xᵢ) - F(xᵢ₋₁) = f(tᵢ) (xᵢ - xᵢ₋₁) = f(tᵢ)Δxᵢ
     n                  n
⇒ Σ f(tᵢ) Δxᵢ = Σ [ F(xᵢ) - F(xᵢ₋₁)]
   i=1               i = 1

                       = F(b) - F(a) ..........(2)

From equations (1) and (2) , we get 
      b
     ∫ f(x) dx = F(b) - F(a)     (Proved)
     a


Comments

Popular posts from this blog

Accuracy Of Numbers

PFAFFIAN Differential Equations And It's Solutions

Derivation Of Composite Trapezoidal Rule