Simpson's One _ Third Rule

Simpson's One_Third Rule :

             Let us suppose that interval (a,b) be divided into n equal sub intervals            such that  a = x₀,x₁,.........,xₙ₋₁,xₙ = b 

We know from Newton's Forward Difference Interpolation formula that 

y = y₀+ sΔy₀+s(s-1)/2!  Δ²y₀+s(s-1)(s-2)/3!  Δ³y₀

                       + ................                     .........(1)

Where  xₙ = x₀+nh  and x= x₀+sh .......(2)

Integrating both sides of equation (1) , between x₀ and xₙ we get 

 xₙ          xₙ

∫ y dx = ∫ (y₀+sΔy₀+s(s-1)/2!  Δ²y₀

x₀           x₀

                              + s(s-1)(s-2)/3!  Δ³y₀+.......)dx

Using equation (2) in the above expression ,

we get 

xₙ              n

∫ y dx = h∫ (y₀+sΔy₀+s(s-1)/2!  Δ²y₀ 

x₀              0

                      +s(s-1)(s-2)/3!  Δ³y₀+.....)ds

      xₙ

or, ∫ y dx = nh[y₀+n/2  Δy₀+n(2n-3)/12  Δ²y₀

     x₀

                                    + n(n-2)²/24  Δ³y₀+........

                                                        .........(3)

Then putting n=2 in equation (2) , we get 

x₂

∫ y dx = 2h [y₀+Δy₀+1/6  Δ²y₀]

x₀

            = h/3  [y₀+4y₁+y₂]  .............(4)

Similarly ,

  x₄

  ∫ y dx = h/3  [y₂+4y₅+y₄] .......(5)

 x₂

  x₆

  ∫ y dx = h/3 [y₄+4y₅+y₆] .....(6)

 x₄

.................................................

.................................................

xₙ

∫ y dx = h/3  [yₙ₋₂+4yₙ₋₁+yₙ] ............(7)

xₙ₋₁

Combining all the above equations ,we get 

xₙ            x₂           x₄           x₆                   xₙ

∫ y dx = ∫ y dx + ∫ y dx + ∫ y dx +.......+∫ y dx

x₀           x₀            x₂           x₄                  xₙ₋₂

       = h/3  [y₀+4(y₁+y₃+......+yₙ₋₁)

                              +2(y₂+y₄+.......yₙ₋₂)+yₙ]

                                                        ................(8)

This equation (8) is Simpson's One_third rule .

For Example:

          Given 

x      0         1        2        3          4

eˣ     1      2.72   7.39   20.09  54.60

                                                              4

Verify Simpson's rule by finding   ∫ eˣ dx 

                                                              0

and compare it with exact value .

Solution :

          Here y₀=1 , y₁= 2.72 , y₂=7.39 , y₃= 20.09

   y₄= 54.60    , h=1

Now , using Simpson's Rule , we get 

 4

∫ eˣ dx = h/3  [y₀+4(y₁+y₃)+2(y₂)+y₄]

0

             = 1/3 [1+4(2.72+20.09) +2(7.39)+54.60]

             = 1/3  [1+4(22.81)+2(7.39)+54.60]

             = 53.87 

                          4                     4

But , actually  ∫ eˣ dx = [eˣ ]   = e⁴-e⁰ 

                          0                     0

                                                   = 54.60-1 =53.60

Hence the approximate value is 53.87  and actual value is 53.60 

Which is required solution .