Periodic Functions Of Fourier Series

Periodic Functions Of Fourier Series :

             Generally, periodic functions are the functions which returns the same value in regular interval of time . But in trigonometric functions , it returns the same value in the time interval of 2π radian .

  For example:

              The best example to describe periodic functions is sine function i.e,

       sin(x+2π) = sinx


        So as discussed before Fourier series is generated by these types of periodic functions like sine and cosine functions .

Theorem Related To Periodic Function of Fourier Series :

        For a periodic function of period 2π , prove that 

            β          β+2π

    (i)   ∫ f dx = ∫   f dx ,

           α          α+2π

            π           α+2π

   (ii)   ∫ f dx = ∫  f dx ,

          -π           α

             π                 π

    (iii)  ∫ f(x) dx = ∫ f(γ+x) dx ,

           -π                -π

                      α,β,γ being any numbers .

Proof : 

   (i)  For a periodic function of period 2π , we know 

         f(t-2π) = f(t) 

       Hence , putting t = x+2π , for all α ,β , we get 

        β                β+2π

        ∫ f(x) dx = ∫ f(t-2π) dt 

       α                 α+2π

                         β+2π             β+2π

                      =  ∫  f(t) dt       = ∫ f(x) dx  

                         α+2π             α+2π

                                                    (Proved)

           α+2π      -π           π          α+2π

 (ii)      ∫ f dx = ∫ f dx + ∫ f dx +∫ f dx 

           α             α          -π           π

                          -π          π            α

                       = ∫ f dx +∫ f dx + ∫ f dx 

                          α          -π          -π

                                                 [ using(i)]

                           π

                       = ∫ f dx    (Proved )

                         -π

 (iii)  Let γ + x = t

                π                   γ+π

         ∴    ∫ f(γ+x) dx = ∫  f(t) dt

             - π                   γ-π

                               -π         π         γ+π

                            = ∫ f dt +∫ f dt +∫ f dt 

                             γ-π        -π         π

                         -π         π          γ+π

                    =   ∫ f dt +∫ f dt + ∫ f dt 

                       γ+π       -π          π

                                                [Using(i)]

                        π           π

                    = ∫ f dt = ∫ f dx        (Proved)

                      -π          -π

        These results , in fact , mean that the integral of a periodic function over any interval whose length is equal to its period always has the same value . 

  "The More You Learn The More You Grow"