Integral Formula For The Hypergeometric Series

Integral Formula For The  Hypergeometric Series :

Theorem :

             The hypergeometric function F(α,β;γ;x) can be represented by 

                              

 [Γ(γ)/Γ(β)Γ(γ-β)]

           1

          ∫(1-t)^(γ-β-1) t^(β-1) (1-xt)^-α dt

          0

Proof :

               We know that 

 (β)ₙ = β(β+1)...(β+n-1) = Γ(β+n)/Γ(β)

Similarly        (γ)ₙ = Γ(γ+n)/Γ(γ)

Again 

         B(m,n) = Γ(m)Γ(n)/Γ(m+n)

Consider,

   B(β+n,γ-β) / B(β,γ-β) 

    = [Γ(β+n)Γ(γ-β)/Γ(γ+n)]/[Γ(β)Γ(γ-β)/Γ(γ)

   = [Γ(β+n)/Γ(β)] / [Γ(γ+n)/Γ(γ)]

Thus    (β)ₙ/(γ)ₙ = B(β+n, γ-β) / B(β, γ-β)

 From the definition of Beta function , we have 

                  1

   B(p,q) = ∫ tᵖ⁻¹ (1-t)^(q-1) dt , t<1.

                 0

Therefore,

                                           

     (β)ₙ/(γ)ₙ = 1/B(β, γ-β) 

                        1

                       ∫ t^(β+n-1) (1-t)^(γ-β-1) dt 

                       0

   = Γ(γ) / Γ(β)Γ(γ-β) 

             1

            ∫ t^(β+n-1) (1-t)^(γ-β-1) dt , n=0,1,2....

           0                                                    .........,(1)

                               ∞

Now F(α,β;γ;x) = Σ (α)ₙ(β)ₙ xⁿ/n!(γ)ₙ

                             n=0

                ∞

             = Σ (α)ₙxⁿ/n! . Γ(γ) / Γ(β)Γ(γ-β)

              n=0

                              1

                              ∫ t^(β+n-1) (1-t)^(γ-β-1) dt

                              0

Reversing the order of summation and integration which is justified for an absolute convergence argument , we see that

F(α,β;γ;x) =                   1

        Γ(γ)/[Γ(β) Γ(γ-β)] ∫ t^(γ-β-1) t^(β-1)

                                      0

                         ∞

                      { Σ (α)ₙ (xt)ⁿ/n!} dt 

                        n=0

                                               ...............(2)

Since t<1 , we have if |x|≤1

(1-xt)^-α = 1+α(xt)/1! + α(α+1)(xt)²/2!+.....

                    ∞

                 = Σ (α)ₙ (xt)ⁿ/n!

                   n=0

Hence from   equation(2)

F(α,β;γ;x) = Γ(γ)/Γ(β)Γ(γ-β)

                      1

                     ∫ (1-t)^(γ-β-1) t^(β-1) (1-xt)^-α dt

                     0

                                           γ>β>0 , |x|≤1                                                                               (Proved)

                                                        ..........(3)

Corollary :

        If we put x=1 in  equation(3) , we get 

F(α,β;γ;1) = Γ(γ)/Γ(β)Γ(γ-β) 

                                1

                                ∫  (1-t)^(γ-α-β-1) t^(β-1) dt 

                               0   

            = Γ(γ)/ Γ(β)Γ(γ-β) Β(β,γ-α-β)

                                 if β>0 , γ-α-β>0

     = Γ(γ)/Γ(β)Γ(γ-β) × Γ(β)Γ(γ-α-β) / Γ(γ-α)

= Γ(γ)Γ(γ-α-β) / Γ(γ-α) Γ(γ-β)                

  Which is called Gauss's Theorem .   ........(4)