Integral Representation Of Confluent Hypergeometric Function

Integral Representation Of Confluent Hypergeometric Function:

 Theorem :

            If γ>α>0 , then the function F(α;γ;x) can be expressed as

                               1

   Γ(γ)/Γ(γ)Γ(γ-α)  ∫ eˣᵗ t^(α-1)(1-t)^(γ-α-1) dt.

                               0

Proof :

          We know that 

  B(α+n,γ-α)/B(α,γ-α) = 

       Γ(α+n)Γ(γ-α)/Γ(γ+n) / Γ(α)Γ(γ-α)/Γ(γ)

     = Γ(α+n)/Γ(α) / Γ(γ+n)/Γ(γ)

But Γ(α+n)/Γ(α) = (α)ₙ and Γ(γ+n)/Γ(γ) = (γ)ₙ

Therefore,

(α)ₙ/(γ)ₙ  = B(α+n,γ-α)/Β(α,γ-α) 

                                 1

  = Γ(γ)/Γ(α)Γ(γ-α) ∫ t^(α+n-1) (1-t)^(γ-α-1) dt

                                0

                            ∞

Now  F(α;γ;x) = Σ (α)ₙxⁿ/n!(γ)ₙ

                           n=0

                                         

  = Γ(γ)/Γ(α)Γ(γ-α)

                  ∞           1

                  Σ xⁿ/n! ∫ t^(α-1) tⁿ(1-t)^(γ-α-1) dt

                n=0        0

Interchanging the order of summation and integration we have 

F(α;γ;x) = Γ(γ)/Γ(α)Γ(γ-α)×

           1                                       ∞

          ∫ t^(α-1) (1-t)^(γ-α-1) dt Σ (xt)ⁿ/n!

          0                                      n=0

                       

                               1

 = Γ(γ)/Γ(α)Γ(γ-α) ∫ eˣᵗ t^(α-1) (1-t)^(γ-α-1) dt

                               0                     ............(1)

 We can use this integral representation to deduce an important relation satisfied by the function F(α;γ;x).

Putting t= 1-s in the above result we get 

F(α;γ;x) = Γ(γ)/Γ(α)Γ(γ-α)×

       0

       ∫ e⁻ˣˢ s^(γ-α-1) (1-s)^(α-1) (-ds)

      1

             = Γ(γ)eˣ/Γ(α)Γ(γ-α) ×

    1

    ∫ s^(γ-α-1) (1-s)^(α-1)e⁻ˣˢ ds 

   0

Let γ-α = α₁; then γ-α₁ = α.

Hence 

F(α;γ;x) = Γ(γ)eˣ/Γ(γ-α₁)Γ(α₁)×

             1

             ∫ s^(α₁-1) (1-s)^(α-1) e⁻ˣˢ ds 

            0

            = eˣ F(α₁;γ;-x)

           = eˣ F(γ-α;γ;-x),    .........(2)

Which is known as Kummer's result.

Whittaker Functions :

     If we substitute y= x^-γ/2 e^x/2 W(x) in the equation 

    xy" + (γ-x)y' -αy = 0,

 We find that the function W(x) satisfies the differential equation 

d²W/dx² + [-1/4 + k/x + (1/4 - m²) /x²]W =0,

            where k stands for γ/2 -α and m for 

1/2  (1-γ). Solution of this equation are known as Whittaker's confluent hypergeometric functions .