The Laplace Transformation

The Laplace Transformation:

   In recent years , in the solution of differential equations much use has been made of what are known as "Operational Methods". Such methods have wide applications in science and engineering and represent a large field for advanced study . 

This method consists of a procedure of solving differential equations where the boundary  or initial conditions are automatically satisfied in the course of the solution . The Laplace transformation is but one of many possible operational methods of solving linear differential equations .

Definition:

            Given a function f(t) of a real variable t>0 , if we multiply it by e⁻ᵖᵗ and with respect to t between the limits 0 and ∞, the result is a function of p, say f̅(p). This function f̅(p) is called the Laplace Transformation of f(t) , also written as L{f(t)}. Thus

                              ∞

    L{f(t)} ≡ f̅(p) = ∫ e⁻ᵖᵗf(t) dt ,

                              0

  provided the integral exist. Here p, in general , is a complex variable. However, in special cases it may be either real or imaginary . We shall restrict p to assume only real values . 

Laplace Transforms Of Some Functions:

    (i) If f(t) = 1,

from definition we get 

               ∞                                   ∞

    f̅(p) = ∫ e⁻ᵖᵗ .1 dt = [-1/p e⁻ᵖᵗ]  = 1/p

              0                                     0

Hence L{1} = 1/p .

                      ∞

    (ii) L{t} = ∫ e⁻ᵖᵗ t dt 

                     0

                                       ∞           ∞

                  = [-1/p e⁻ᵖᵗ t]  + 1/p ∫ e⁻ᵖᵗ dt 

                                       0           0

                  = 1/p² .

                                           ∞

since , lim te⁻ᵖᵗ = 0 and ∫ e⁻ᵖᵗ dt = 1/p .

          t-->∞                        0

           

                            ∞

      (iii)  L{tⁿ} = ∫ e⁻ᵖᵗ tⁿ dt ,

                           0

    where n is a positive integer 

                                          ∞            ∞

                    = [-1/p e⁻ᵖᵗ tⁿ]  + n/p ∫ e⁻ᵖᵗ tⁿ⁻¹ dt

                                           0           0

                   = n/p L{tⁿ⁻¹}.

The successive application of the formula (iii) gives 

        L{tⁿ} = n!/pⁿ⁺¹ .

                            ∞

       (iv) L{eᵃᵗ}= ∫ e⁻ᵖᵗ eᵃᵗ dt 

                            0

                             ∞                                        ∞

                          = ∫ e⁻ᵖᵗ⁺ᵃᵗ dt = [-e⁻ᵖᵗ⁺ᵃᵗ/p-a]

                            0                                          0

                          = 1/p-a

                                  ∞

       (v) L{cos at } = ∫ e⁻ᵖᵗ cos at dt

                                 0

                                    ∞

                          = 1/2 ∫ e⁻ᵖᵗ[eⁱᵃᵗ+e⁻ⁱᵃᵗ]dt

                                   0

                              ∞                           ∞

                    = 1/2 ∫ e⁻ᵖᵗ⁺ⁱᵃᵗ dt +1/2  ∫ e⁻ᵖᵗ⁻ⁱᵃᵗdt

                             0                            0

                   = 1/2(p-ia) + 1/2(p+ia) = p/p²+a²

Similarly, 

    L{sin at } = p/p²+a² .