Unit Step Function

Unit Step Function :

        A unit step function is a function which has a zero value for t≤t₀ and then rises instantaneously to a sustained unity value. 

This is shown in the figure below. In electric circuit , and in mechanical system it could represent a force suddenly impressed on the system .

           This unit step function starting at zero time will be designated by u(t) , and that starting at time t₀ is u(t-t₀) . Thus 

                         { 0 for 0<t≤t₀

           u(t-t₀) ={ 

                         { 1 for t>t₀               .....(1)

   The Laplace transform of unit step function is 

                       ∞

   L{u(t-t₀)} = ∫ e⁻ᵖᵗ u(t-t₀) dt 

                       0

                       ∞                           ∞

                    = ∫ e⁻ᵖᵗ u(t-t₀) dt + ∫ e⁻ᵖᵗ u(t-t₀) dt

                       0                           t₀

                      ∞                               ∞

                   = ∫ e⁻ᵖᵗ dt = [-1/p e⁻ᵖᵗ]

                      t₀                                t₀

                   = 1/p  e⁻ᵖᵗ₀      ......(2)

    When t₀= 0 i.e., the function instantaneously takes the value unity at zero time , then

       L{u(t)} = 1/p

   Which is the function.

Example _1:

            Express the square wave shown in the figure below in terms of unit step function , and obtain its Laplace transform .

Solution :

         The wave can be written in terms of unit step functions as 

     f(t) = u(t)- 2u(t-a) + 2u(t-2a) - 2u(t-3a)+...

       

         Assuming that term wise integration is permissible and using (2) , we obtain 

    f̅(p) = 1/p - 2e⁻ᵃᵖ/p + 2e⁻²ᵃᵖ/p - 2e⁻³ᵃᵖ/p +...

           = 1/p [1-2e⁻ᵃᵖ(1-e⁻ᵃᵖ + e⁻²ᵃᵖ - e⁻³ᵃᵖ+...)]

           = 1/p [1 - 2e⁻ᵃᵖ/1+e⁻ᵃᵖ]

   the expression in parentheses () is a geometric series .

  Hence f̅(p) = 1/p (1-e⁻ᵃᵖ / 1+e⁻ᵃᵖ)

                  = 1/p[ e^-ap/2 (e^ap/2 - e^-ap/2)/

                             e^-ap/2 (e^ap/2 + e^-ap/2)

                 = 1/p  (e^ap/2 - e^-ap/2) / 

                                        (e^ap/2 + e^-ap/2)

                 = 1/p (2sinh ap/2) / (2cosh ap/2)

                  = 1/p tanh ap/2 . (a>0 , p>0),

Theorem _1:

           If {f(t)} = f̅(p), then for a>0,

              L{u(t-a)f(t-a)} = e⁻ᵃᵖ f̅(p) .

Proof :

       By definition 

                                    ∞

       L{u(t-a) f(t-a)} = ∫ e⁻ᵖᵗ u(t-a) f(t-a) dt

                                    0

                         a                           ∞

                      = ∫e⁻ᵖᵗ f(t-a).0dt + ∫ e⁻ᵖᵗ f(t-a).1dt

                         0                           a

                          ∞

                      =  ∫ e⁻ᵖᵗ f(t-a) dt 

                          a

 In the last integral write x = t-a

Then 

     ∞                          ∞

     ∫ e⁻ᵖᵗ f(t-a) dt = ∫ e^-p(x+a) f(x) dx

    a                           0

                                         ∞

                              = e⁻ᵖᵃ ∫ e⁻ᵖˣ f(x) dx

                                         0

                              = e⁻ᵖᵃ f̅(p)

Hence, L{u(t-a) f(t-a)} = e⁻ᵖᵃL{f(t)}=e⁻ᵃᵖ f̅(p)

Example_2 :

           What function has Laplace transform

e⁻ᵖ/p² ?

Solution :

           We know that L{t} = 1/p² 

Hence by Theorem_1 

        e⁻ᵖ/p² = L{u(t-1)(t-1)} .

                        

  Which is the required solution ,